企業名の変更や代表者の変更に伴い、既存のSSL証明書を再発行する必要はありますか？

必要ありません。

企業名の変更または代表者の変更後も、既存のSSL証明書は有効期限までそのまま使用でき、再発行する必要はありません。証明書の有効期限が切れた後に、新しい主体情報を使用して新しい証明書を申請・発行してください。